Há 5 anos: a equação parcial de Lyapunov; ou, geometria e controle

Mensagem de setembro de 2005. Quem entender, entendeu. Quem não entender, melhor.
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Ontem passei um bom tempo tentando lembrar quem disse que a derivada de Lie era chamada de operador de Liouville pelos físicos. Descobri, vasculhando a biblioteca, que isso está no livro de física matemática do Thirring que eu tenho aí em casa, mas ainda não consegui ler inteiro.

A questão é que preciso resolver uma equação parcial de primeira ordem. Os livros falam muito sobre as equações de segunda ordem, mas as de primeira, que poderíamos pensar serem mais simples, não são muito discutidas. A equação de Liouville é uma das que são muito faladas. E a derivada de Lie aparece na minha equação. Apesar de ter achado a referência, ainda não sei no que isso me ajuda, nem qual a relação entre as duas.

Outro dia fui na sala do Yoshi e vi que ele tinha na mesa a autobiografia do Mark Kac, um dos fundadores da probabilidade moderna. Kac trabalhou com o Erdos, que é o fundador da área do Yoshi, e com quem o Yoshi escreveu um artigo. Mas o Kac também trabalhou com uma abordagem probabilística que é muito usada em controle e teoria das comunicações. E com uma que não é: existe uma fórmula de Feynman-Kac que deve ser importante para mim, mas eu não entendo. No livro ele fala sobre o operador de Liouville, mas não o suficiente para que eu entenda. Pena, porque me parece que o ponto de vista dele é mais próximo do meu do que os da maioria dos matemáticos (muito abstratos), físicos (muito aplicados a algum problema particular), e engenheiros (que se dividem entre os que gostariam de ter sido matemáticos, os que gostariam de ter sido físicos, e os que só querem fazer as contas). De qualquer forma é um livro fácil de ler, que me caiu em mãos na hora certa.

Com essas leituras e dando a aula de controle adaptativo, que eu já não ensinava desde o final do século passado, percebi que tem toda uma corrente de pesquisa em controle que utiliza como ferramenta a análise funcional, e não chega em lugar nenhum. O assunto é importante mas difícil. Eu até fiz um curso sobre isso em Yale, e passei por generosidade do instrutor, porque não tinha nem maturidade nem força de vontade para entender bem. Mas depois li um pouco mais e deixei de ser um total ignorante no assunto. Só que para mim ajudou pouco, e para a teoria de controle em geral acho que ajudou menos ainda. Mas só descobri isso agora. Hermann Weyl, one of the first people to combine general relativity with the laws of electromagnetism, disse mais ou menos isso: "The devil of algebra and the angel of geometry fight for the soul of every theory." Parece que pelo menos no caso do controle a álgebra abstrata conseguiu um forte aliado na análise funcional.

Para citar Henrique Pait, "Não há espetáculo mais deprimente do que um homem trabalhando com a ferramenta errada." Acho que desta vez estou trabalhando com a ferramenta certa. Inspirado por isso, acho que consegui mostrar que a equação diferencial parcial que estou estudando tem solução. Para ser mais correto, como engenheiro, consegui construir uma versão que sempre tem solução. Outras versões, que possam não ter, não me interessam.

Isso me traz próximo de exibir a solução. Não uma solução geral para todos os casos. Mas quando é possível construir uma solução explícita, o problema está resolvido. Esse é o caso dos sistemas lineares, que eu pelo menos já sei o que são. Mas também parece ser o caso de sistemas mais gerais - os tais sistemas curvos que ninguém ainda definiu. Eu acho que são aqueles que geram simetrias de uma geometria riemanniana qualquer. A geometria euclidiana é uma geometria riemanniana particular, que dá origem aos sistemas lineares. Com isso se elimina a idéia, que já semânticamente é absurda, de estudar sistemas não-lineares - sem identificar entre eles os que possam ser lineares.

Mudando de assunto, ontem era rodízio e peguei carona com o Fuad até a casa dele. De lá dei um pulinho na FNAC e comprei uma cópia de meu primeiro livro de xadrez, e até agora o melhor de todos, para dar de presente ao nosso visitante francês. Ele joga xadrez e conta que a filha, que está começando o colegial, também está se interessando muito. Eles sabem francês, devem conseguir aproveitar.

Como hoje é o dia das frases, vou descrever o livro citando o Oswald de Andrade: "Neste deserto de homens e idéias, eis que surge o cavalo Mossoró." Esse livro "Xadrez básico" é de um livro de bolso da Ediouro, totalmente downmarket, de autor outrossim desconhecido, Orfeu d'Agostini, que se apresenta como mestre nacional de xadrez, ou seja, era um enxadrista amador, médico se me lembro bem, que não tinha título nenhum. O livro explica os princípios das escolas antiga, moderna, e "hipermoderna" de xadrez de uma maneira acessível e cartesiana, muito difícil de encontrar mesmo nos livros dos mestres originais, que ele consultou. Foi divertido comprar, especialmente para dar de presente, porque eu mesmo não vou mais ler, a essa altura do campeonato. Além disso acho que foi meio surpreendente para o François, talvez não faça muito parte da cultura européia dar um livro para um colega assim sem mais nem menos.

Agora vou voltar para a equação de Lyapunov. Lembrando que originalmente o termo se refere a uma equação algébrica, mas que na verdade é uma simplificação de uma equação diferencial parcial, portanto muito mais difícil, que aparece no estudo da estabilidade de sistemas de controle. E de uma forma ou de outra vai aparecer no estudo de todas as propriedades de um sistema de controle, pois a questão é sempre descobrir quais as propriedades de um "campo de vetores", isso é, de uma regra que define a velocidade de movimento em cada ponto do espaço. A equação diferencial parcial na qual aparece a derivada de Lie expressa justamente os invariantes do campo, isto é, as propriedades que se mantém constantes ao longo do movimento do objeto estudado.