Div, grad, curl are not dead!

Let a be a vector field on a Riemannian manifold with metric < , > and connection ∇. Then curl a is a antisymmetric 2-form defined by:

curl a (X,Y) = <∇_Y a, X> - <∇_X a, Y>

There even exists a Helmholtz decomposition of a vector field into its divergence-free and curl-free parts. So maybe Burke was wrong, and div, grad, and curl still live!

The index in semi-Riemannian geometry and classification of partial differential equations

Semi-Riemannian geometry studies manifolds with a nonsingular metric tensor. Two cases have been studied in detail: Riemannian geometry, when the tensor is positive-definite, and Lorentz geometry, when at each point of the manifold it is negative-definite in a subspace of dimension 1 of the tangent space.

Writing the metric in diagonal form, its index is the number of negative diagonal terms. The Laplace operator Δ on a manifold, the divergence of the gradient of a function, has as many negative terms as this index. The Laplace equation Δv = 0 is elliptic in Riemannian geometry and hyperbolic in a Lorentz geometry. The ultrahyperbolic case when the index is neither 0 nor 1 has been much less studied. But this relationship between semi-Riemannian geometry and partial differential equations is not often mentioned in the literature.

Eleição indireta em lista fechada é inconstitucional

O Congresso Nacional está discutindo proposta de eleição por meio de lista fechada: o eleitor vota no partido, e o partido escolhe os deputados de uma lista. Essa proposta viola uma cláusula pétrea da Constituição da República federativa do Brasil, contida na Subseção II - Da Emenda à Constituição. O constituinte foi claríssimo:

Não será objeto de deliberação a proposta de emenda tendente a abolir:
I - a forma federativa de Estado; II - o voto direto, secreto, universal e periódico; III - a separação dos Poderes; IV - os direitos e garantias individuais.

O Artigo 60, Parágrafo 4, citado acima, não deixa margem à dúvida: a proposta de emenda constitucional que restringe a escolha direta do eleitor é inconstitucional. O Constituinte foi mais longe: baniu a deliberação de qualquer proposta TENDENTE a abolir o voto direto. Qualquer argumentação de que o voto em lista fechada não elimina completamente o voto direto é irrelevante, em vista da cautela do texto constitucional em impedir qualquer deliberação nessa direção.

Mesmo o chamado voto misto, no qual parte dos deputados são eleitos diretamente e outra parte são escolhidos pelos partidos através de listas, é claramente inconstitucional. A deliberação pelo Congresso de emenda que estabelece o voto em lista, por si só, viola a Constituição.

Esse blog decerto não é o primeiro a notar essa flagrante ilegalidade, que já foi apontada até por alguns advogados e políticos. Mas como a discussão no Congresso continua, é importante a pressão popular para evitar que o direito de voto do cidadão brasileiro seja cerceado inconstitucionalmente em nome da conveniência dos políticos.